Integrale

Integrale definito.

Sia data una funzione continua y=f(x)

Dividiamo l’Intervallo [a,b]  in n intervalli tramite i punti

Consideriamo la somma,

, dove    è il minimo nell’intervallo

che graficamente rappresenta un approssimazione per difetto dell’area racchiusa dalla funzione y=f(x).

E la somma

, dove    è il massimo nell’intervallo

che graficamente rappresenta un approssimazione per eccesso dell’area racchiusa dalla funzione y=f(x).

e la somma

evidentemente    . Dato che  al crescere di n tendono all’area racchiusa dalla funzione, per il teorema del confronto esiste il limite

che chiamiamo integrale definito. E graficamente rappresenta l’area racchiusa dalla funzione e dalle rette x=a , x=b, e y=0.

Se chiamiamo primitiva di una funzione y=f(x), la funzione y=F(x) tale che F’(x)=f(x).

Osserviamo che se non fisso b   al variare di x l’integrale rappresenta una funzione (Integrale indefinito).

Si dimostra che   e che   .

(Osserviamo che per definizione F(x) è definita a meno di una costante, cioè oltre F(x) sono primitive le funzioni y=F(x)+cost.)

Osserviamo che Se  F(x) è tale che  F’(x)= =f(x)

. Ovvero l’integrale della funzione derivata mi da la funzione stessa. E che la derivata di un integrale definito mi da la funzione stessa.